我们继续对线性系统谐波激励建模进行讨论，现在我们把重点转移到非线性系统。我们将研究系统的载荷上有一些正弦分量的问题，以及材料属性或载荷和约束直接取决于解的情况。在这篇博客中，你将看到 COMSOL Multiphysics 能用一些非常有效的求解算法解决这些明显的非线性问题。让我们来了解一下。
带有时间谐波分量的载荷和非线性系统
在之前一篇关于线性系统谐波激励建模的博客中，我们确定了两个条件，在这两个条件下，可以在频域中对系统的瞬态响应进行建模。这两个条件是：
- 系统上的所有随时间变化的载荷和约束必须以相同的固定频率正弦变化。
- 所有的载荷、约束和材料属性必须与解无关。
今天，我们将研究如何将这两个假设放宽一些。我们从一个非常常见的系统案例开始讨论：一个拉紧的吉他弦的振动。在这个示例中，载荷在时间上并不是纯正弦的变化。我们都知道，当增加吉他弦的张力时，音高(振动的基本频率)会增加。
吉他的琴弦根据琴弦的张力以不同的频率振动。
让我们先使用之前博客中的通用偏微分方程来考虑这种情况。
(1)
M u_{tt} + C u_t + \nabla \cdot (-K \nabla u) = F_0+\tilde F sin(\omega t) & \text {在域} \Omega \text {上，满足} \\
\mathbf{n} \cdot (K \nabla u) + Au = f _0 + \tilde f sin(\omega t ) & \text {在边界} \Gamma_1 \text{上，满足}\\
u = g_0 + \tilde g sin ( \omega t) & \text{ 在边界 } \Gamma_2 \text{上，满足}
\end{align}
其中，体载荷 F_0+\tilde F \sin(\omega t)、边界载荷 f_0+\tilde f sin(\omega t) 和约束条件 g_0+\tilde g \sin(\omega t)，被分解为一个常数分量和一个正弦时变分量。对于一个结构工程师，你可以将其称为静态和动态分量的分解。对于一个电气工程师，你会把这些单元分别描述为直流和交流分量。
我们可以进一步假设动态分量的大小比静态分量小得多，也就是 \tilde F \ll F_0，\tilde f \ll f_0 和 \tilde g \ll g_0。如果动态载荷相对较小，那么可以合理地假设动态载荷将导致静态载荷情况下的小振荡。也就是说，我们假设解将采取以下形式：u = u_0 + \tilde u 。这也称为谐波扰动，或频域扰动。在 COMSOL Multiphysics 中，我们把这称为结构力学物理场接口的预应力分析 研究；电磁学物理场接口的小信号分析 研究；以及电化学物理场接口的交流阻抗 研究。
这些研究类型都有相同的底层解决方法。他们一开始就忽略了随时间变化的正弦波分量，首先解决稳态问题。
(2)
\nabla \cdot (-K \nabla u_0) = F_0 &\text { on } \Omega \\
\mathbf{n} \cdot (K \nabla u_0) + Au_0 = f _0 &\text{ on } \Gamma_1 \\
u_0 = g_0 &\text{ on } \Gamma_2
\end{align}
实际上，材料属性和载荷都可以直接依赖于解。即 K = K(u_0)，F_0 = F_0(u)，f_0 = f_0(u_0) 和 g_0 = g_0(u_0)。这意味着，稳态问题实际上可以是非线性的，只要材料的非线性、静载荷和约束条件的组合是一个良好的问题，这并不会使分析变得真正复杂。如果想要更好地了解如何解决这种非线性稳态问题，请阅读我们的求解器系列博客。
在对系统的稳态响应进行求解后，我们可以使用稳态解 u_0 来评估控制方程的频域扰动形式所使用非线性材料属性。
(3)
-\omega^2 M(u_0) \tilde u + j \omega C(u_0) \tilde u + \nabla \cdot (-K(u_0) \nabla \tilde u) = \tilde F &\text { on } \Omega \\
\mathbf{n} \cdot (K(u_0) \nabla \tilde u) + A(u_0) \tilde u = \tilde f &\text{ on } \Gamma_1 \\
\tilde u = \tilde g &\text{ on } \Gamma_2
\end{align}
对于结构问题，稳态解也将代表系统的已变形状态。频域扰动方程是在这个变形状态上形成的，除了材料非线性之外，还引入了所谓的几何非线性。
上述控制方程也可以通过对所有载荷和约束条件进行均质化处理，即把它们每一个都设置为零级，来仿真一个特征频率问题。下面是一些例子。
频域激励引起的非线性问题怎么解决？
到目前为止，我们所介绍的例子都假设系统对频域载荷的响应是线性的。也就是说，我们之前假设，如果任何一个频域载荷或约束(\tilde F, \tilde f, \tilde g)的大小增加了一个标量值，那么频域解的大小将增加相同的标量值。当然，要使这样的假设成立，载荷、约束和材料属性必须都与频域解 \tilde u 无关。但是，在很多情况下这是不正确的。让我们来看看如何解决其中的一些情况。
我们可以从材料属性取决于循环平均解的情况开始。由于场 \tilde u 是复值，循环平均的大小由给出 |\tilde u| = \frac{1} {2}\Re (\tilde u \cdot \tilde u^*)。这使我们能够求解以下形式的控制方程。
(4)
-\omega^2 M(|\tilde u|) \tilde u + j \omega C(|\tilde u|) \tilde u + \nabla \cdot (-K(|\tilde u|) \nabla \tilde u) = \tilde F(|\tilde u|) &\text { on } \Omega \\
\mathbf{n} \cdot (K(|\tilde u|) \nabla \tilde u) + A(|\tilde u|) \tilde u = \tilde f(|\tilde u|) &\text{ on } \Gamma_1 \\
\tilde u = \tilde g(|\tilde u|) &\text{ on } \Gamma_2
\end{align}
这种非线性偏微分方程实际上可以用我们的求解器系列博客中描述的完全相同的算法来求解。因此，除了输入适当的材料非线性表达式之外，我们几乎不需要学习任何 “额外 “的东西来解决这类问题。关于这种问题的例子，请看我们的 BK-7 光学玻璃中的自聚焦教程模型，其中折射率 n=n_0+\gamma I，直接取决于电磁场强度 I。
材料属性不需要是周期平均幅度的这样一个简单函数。例如，AC/DC 模块包括一个有效的 H-B 曲线建模方法，该方法使用了之前这篇关于在频域中为磁性材料建模的博客中描述的非线性材料关系。
到目前为止，我们只考虑了相对于周期平均场强而言的非线性材料响应。然而，系统上的正弦激励也有可能耦合成系统的更高阶次的谐波激励。为了理解为什么会这样，请记住，我们的激励 \sin(\omega t ) 在时间上是变化的，而且我们已经假设我们的解也将在时间上以相同的频率 u(t) = \tilde u \sin(\omega t ) 呈正弦波变化。但是，如果有任何材料的响应直接取决于瞬时（而不是周期平均）的场强，那么我们可以使用三角关系 \sin^2(\omega t ) = (1- \cos ( 2 \omega t ))/2来推断，该响应实际上是这样的：u(t) = \tilde u_1 \sin(\omega t ) +\tilde u_2 \sin(2 \omega t ) + \cdots。
这种类型的反应，被称为倍频 或 高次谐波 的产生，在电磁学中，特别是光学系统中相当普遍。尽管事实上可能有许多高次谐波，但实际上，只有一个或两个高次谐波可能具有工程意义。对于这种情况，我们可以写一些新的一般控制方程：
(5)
-\omega^2 M \tilde u_1 -j \omega C \tilde u_1 + \nabla \cdot (-K \nabla \tilde u_1) = \tilde F_1 -Q &\text { on } \Omega \\
\mathbf{n} \cdot (K \nabla \tilde u_1) + A \tilde u_1 = \tilde f_1 &\text{ on } \Gamma_1 \\
\tilde u = \tilde g_1 &\text{ on } \Gamma_2 \\
-4 \omega^2 M \tilde u_2 -j 2 \omega C \tilde u_2 + \nabla \cdot (-K \nabla \tilde u_2) = + Q &\text { on } \Omega \\
\mathbf{n} \cdot (K \nabla \tilde u_2) + A \tilde u_2 = 0 &\text{ on } \Gamma_1 \\
\tilde u_2 = 0 &\text{ on } \Gamma_2
\end{align}
其中，在两组方程之间有一个一般域的耦合项 Q。为了简单起见，省略了静态成分。同时请记住，所有的材料属性都可以依赖于频率，因此对于不同的谐波也会有所不同。现在，我们所具有的是一组带有非线性耦合项的控制偏微分方程。求解这些方程只需要寻找我们在求解器系列博客中介绍的同样的求解方法。
下载这个教程模型，您将会看到一个演示频域中的二次谐波产生的模型例子。
求解更多的广义非线性问题
确实有一点被我们一带而过了，就是不能再利用我们在这里讨论的假设来简化问题，即使有正弦波的激励。在这种情况下，通常会想把重点转移到时域建模上。尽管在时域建模会比在频域建模花费更多的时间，但可以捕获到解的全部时间演变，并纳入任何种类的非线性，甚至是导致非正弦响应的非线性。
在 COMSOL 应用库中，你可以找到几个时域建模的一般例子，包括：
如果你对这里讨论的建模方法有任何疑问，并认为它们对你的多物理场建模需求有用，请随时联系我们。
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