根据阻抗和功率衰减等参数的不同，电缆可以分为多种类型。本篇博客文章将探讨一个存在解析解的案例：同轴电缆。同时还将展示如何利用 COMSOL Multiphysics 对电磁场进行仿真并计算电缆的参数。只要了解了此例中对同轴电缆的操作方法，我们就能够计算出其他任意类型的传输线或电缆的相关参数。
电缆设计中的注意事项
电缆，也称传输线，主要用于传输电能与数据，它的身影在现代社会中随处可见。您也许正在使用手机或平板电脑阅读本文，它们都是“无线”设备，然而实际上它们的内部都安装了传输线，将众多的电子元件连接在一起。不仅如此，当您晚上回到家中时，或许还会将电缆插入这些设备来进行充电。
传输线有多种型号，小型的传输线如印制电路板（printed circuit board，简称PCB）上的共面波导，大型的如高压电线。传输线的工作环境和条件十分多样：从跨大西洋电报电缆到航天飞船中的线路（如下图所示）。不同应用领域的传输线必须进行特别设计，以确保其正常运行，同时还需满足更高的设计目标，例如符合使用要求的机械强度和重量最小化。
航天飞机航空电子设备综合实验室（Shuttle Avionics Integration Laboratory,简称 SAIL）的 OV-095 型号航天飞机有效载荷舱中的输电线。
设计及使用电缆时，工程师们往往选择单位长度的参数来描述整体的串联电阻（R）、串联电感（L）、并联电容（C）和并联电导（G）。这些参数可进一步用来计算电缆性能、特性阻抗和传输损耗。有一个要点需要牢记：这些参数是从 Maxwell 方程求得的电磁场解中获取的。我们可借助 COMSOL Multiphysics 来求解电磁场，并将多物理场效应纳入考虑，进而可以观察在不同的载荷和环境条件下电缆参数和性能的变化情况。最后这些研究成果可以转换成如示例中那样的轻松易用的仿真 App 计算常用传输线的参数。
在这里我们讨论一下同轴电缆——一个常常出现在微波工程或传输线专业课程中的基本问题。Oliver Heaviside 早在 1980 年就为同轴电缆这一基础设备申请了专利，而这仅仅是在 Maxwell 方程诞生的几年之后。了解科学史的同学们，他就是你们熟悉的 Oliver Heaviside——曾以矢量分析的形式重新表达了 Maxwell 方程，同时他还是“阻抗”这一术语的第一个使用者，并推动了传输线理论的发展。
同轴电缆的解析解
我们首先从下方具有特定尺寸的同轴电缆横截面的简略图进行讨论。内外导体之间的电芯的相对介电常数（\epsilon_r = \epsilon' -j\epsilon''）为 2.25–j*0.01，相对磁导率（\mu_r）为 1，电导率为 0，内外导体的电导率（\sigma）为 5.98e7 S/m。
同轴电缆的二维横截面图，我们选定 a = 0.405 mm，b = 1.45 mm，t = 0.1 mm。请注意。这一教学模型可以在我们的案例下载中下载。
求解传输线的标准方法是，假定电场在传输的方向上振荡并衰减，同时电场的截面图保持不变。如果接下来我们找到了有效解，根据唯一性定理可推断所得的解是正确的。从数学角度来说，这种方式与利用 \mathbf{E}\left(x,y,z\right) = \mathbf{\tilde{E}}\left(x,y\right)e^{-\gamma z} 形式的拟设求解 Maxwell 方程的本质相同，其中 （\gamma = \alpha + j\beta） 表示复传播常数，\alpha 和 \beta 分别表示衰减常数和传播常数。在同轴电缆的柱面坐标中，由此得到著名的场求解法
\mathbf{E}&= \frac{V_0\hat{r}}{rln(b/a)}e^{-\gamma z}\\
\mathbf{H}&= \frac{I_0\hat{\phi}}{2\pi r}e^{-\gamma z}
\end{align}
然后推出单位长度的参数
L& = \frac{\mu_0\mu_r}{2\pi}ln\frac{b}{a} + \frac{\mu_0\mu_r\delta}{4\pi}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\\
C& = \frac{2\pi\epsilon_0\epsilon'}{ln(b/a)}\\
R& = \frac{R_s}{2\pi}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\\
G& = \frac{2\pi\omega\epsilon_0\epsilon''}{ln(b/a)}
\end{align}
其中 R_s = 1/\sigma\delta 表示表面电阻，\delta = \sqrt{2/\mu_0\mu_r\omega\sigma} 表示集肤效应深度。
尽管电容和并联电导之间的方程在任何频率下都有效，然而有非常重要的一点需要指出：电阻和电感的方程依赖于集肤效应深度，所以方程仅在集肤效应深度远远小于导体实际厚度时的频率下有效。这也是为什么电感方程中名为内电感的第二项对于部分读者或许有些陌生，因为当金属被作为理想导体时，它是可以被忽略的。这个项表示由磁场穿透有限电导率金属而产生的电感，所有它在频率足够高时可以被忽略（该项也可以表达为 L_{Internal} = R/\omega）。
为了进一步对比，我们会直接根据金属的电导率和截面区域直接计算直流电阻。求解直流电感的解析方程稍复杂一些，所以我们在此引述方程以作参考。
现在已求得了所有频率下的 C 和 G 值、直流电路中的 R 和 L 的值，以及高频特性的渐进值，我们的计算结果便有了绝佳的基准。
利用“AC/DC 模块”模拟电缆
在设置任意数值仿真时，对称结构能否用于减小模型尺寸、提高计算速度是一件需要考虑的重要事项。如之前所见，精确的解会符合 \mathbf{E}\left(x,y,z\right) = \mathbf{\tilde{E}}\left(x,y\right)e^{-\gamma z} 的形式，这是因为我们感兴趣的空间变化主要发生在 xy-平面中，所以我们只需模拟电缆的二维横截面。但是存在一个问题：“AC/DC 模块”使用的二维控制方程是基于电磁场在面外方向上保持不变的假设，这意味着我们无法捕捉单个二维 AC/DC 仿真模型中的拟设变化。不过这一问题可依靠同时使用两个仿真模型来解决！这是因为串联电阻和电感取决于电流和存储在磁场中的能量，而并联电导和电容则取决于电场中的能量。现在，让我们来进一步深入了解。
并联电导和电容的分布参数
由于并联电导和电容可以依据电场计算，所以我们首先使用电流接口。
电流接口仿真模型的边界条件和材料属性。
当几何和材料属性被指定后，我们假设导体为等电势体（这是一个安全假设，因为导体和电介质的电导率通常约有 20 个数量级的差别），并通过向内层导体施加 V0 和使外层导体接地来创建物理场，从而求解电介质中的电势。上述电容解析方程来源于下列更普遍适用的方程
W_e& = \frac{1}{4}\int_{S}{}\mathbf{E}\cdot \mathbf{D^\ast}d\mathbf{S}\\
W_e& = \frac{C|V_0|^2}{4}\\
C& = \frac{1}{|V_0|^2}\int_{S}{}\mathbf{E}\cdot \mathbf{D^\ast}d\mathbf{S}
\end{align}
其中的第一个方程根据电磁理论得出，第二个方程则来源于电路理论。
第一个和第二个方程相结合推导出了第三个方程。通过代入上文所述的已知电场，我们得到了同轴电缆中 C 之前的解析解。概括而言，这些方程为我们提供了一个根据任意电缆的电场获取电容值的方法。通过仿真模型，我们可以计算电能密度的积分，得出电容值为 98.142 pF/m，这与理论值相匹配。同时因为 G 和 C 的关系遵循如下方程
所以我们现在有了四个参数中的两个参数。
此时我们应重申一下，上述过程是基于电介质区域的电导率为 0 的假设。这是教科式的典型推导方法，我们在本案例中坚持这一做法，因为与上文讨论的内电感项不同，它不会给物理场带来很大影响。许多电芯材料的电导率实际上不为 0，我们只需在仿真中更改材料属性即可解决这一点。为了确保其与理论正确匹配，同样需要对推导进行适当的更改。
串联电阻和电感的分布参数
串联电阻和电感可以用相似的方式进行计算，即利用“AC/DC 模块”中的磁场接口，通过仿真模型计算出结果。仿真模型的设置简单明了，如下图所示。
将导体域添加到具有线圈组特征的单匝线圈节点，选择反向电流方向以确保经过内层导体的电流方向与外层导体相反，如上图中的点和叉所示。对照图中的随机分布，单匝线圈解释了导体中电流分布与频率的相关性。
我们参考下列方程来计算电感，它们是上一组方程的磁性模拟。
W_m& = \frac{1}{4}\int_{S}{}\mathbf{B}\cdot \mathbf{H^\ast}d\mathbf{S}\\
W_m& = \frac{L|I_0|^2}{4}\\
L& = \frac{1}{|I_0|^2}\int_{S}{}\mathbf{B}\cdot \mathbf{H^\ast}d\mathbf{S}
\end{align}
为了计算电阻，我们采取一个稍微不同的技巧。首先，求解电阻损耗的积分，以确定单位长度的功率损耗，然后使用熟悉的 P = I_0^2R/2 公式来计算电阻。因为 R 和 L 随频率改变，我们来看一下计算值与直流电和高频（high-frequency,简称 HF）极限下的解析解。
“解析（DC）”和“解析（HF）”分别指前文讨论的直流电和高频极限下的解析方程。注意它们都在双对数坐标系中。
我们可以清楚看到，计算值随着频率的增加，逐渐从低频时直流电的解平滑地过渡到高频时直流电的解，这在集肤效应深度远远小于导体厚度的情况下是有效的。我们预测过渡区域大致落在集肤效应深度和导体厚度在同一个数量级的范围之内。正如结果所示，这个范围是 4.2e3~4.2e7 Hz。
特性阻抗和传播常数
在完成了 R、L、C 和 G 的计算重任后，我们还需确定另外两个关键参数。它们是特性阻抗（Zc）和复传播常数（\gamma = \alpha + j\beta），其中 \alpha 表示衰减常数，\beta 表示传播常数。
Z_c& = \sqrt{\frac{(R+j\omega L)}{(G+j\omega C)}}\\
\gamma& = \sqrt{(R+j\omega L)(G+j\omega C)}
\end{align}
在下图中，我们可以看到使用直流和高频态的解析公式计算出的值，以及根据仿真模型确定的值。同时我们还加入了第四条线：利用 COMSOL Multiphysics 及“RF 模块”计算的阻抗，我们将对其进行简要介绍。如图所示，我们的计算结果与对应极限的解析解一致，并在过渡区域中得出了正确的值。
使用解析方程和 COMSOL Multiphysics 分别确定的特性阻抗的对照图。解析方程根据前文讨论的直流电绘制和高频方程绘制，COMSOL Multiphysics 的结果则使用“AC/DC 模块”和“RF模块”。为了对照清晰，我们特地调宽了“RF 模块”曲线。
高频下的电缆仿真
电磁能以波的形式传播，这意味着其工作频率和波长成反比。随着继续在更高的频率下求解，我们需要了解波长的相对尺寸和电缆的电尺寸。正如在上一篇博客文章中所讨论的，电尺寸达到 λ/100 左右时，我们应该从“AC/DC 模块”切换到“RF 模块”。如果我们利用电缆直径作为电尺寸和电缆电芯中光的速度，所得的转换频率则近似为 690 MHz。
在更高的频率下，电缆更适合被当作波导处理，电缆激发则被当作波导模式。在波导的术语中，我们正在研究的特殊模式称作 TEM，它可以在任何频率下传播。当横截面和波长相匹配时，我们也需要考虑更高阶模式的可能性。与 TEM 模式不同，多数波导模式仅能在高于特征截止频率时传播。由于我们的示例模型成柱面对称，所以可得出第一高阶 TE11 模式的截止频率的一个方程。截止频率 fc = 35.3 GHz，不过即使此几何结构相对简单，但还要根据超越方程来计算截止频率，这部分内容不会在本文中进行深入探讨。
所以这个截止频率对结果来说意味着什么呢？在高于截止频率时，我们关注的是在 TEM 模式中是否具有与 TE11 模式耦合的可能性。在如本文这种具有理想的几何结构的仿真模型中，耦合是不存在的。然而在现实世界，高于截止频率时，电缆的任何瑕疵都可能导致模式耦合。瑕疵出现的原因有很多，例如制造公差和材料属性的梯度。人们通常会对电缆进行特别设计，使之在高阶模式的截止频率之下工作，确保仅有一种模式可进行传输，从而避免这种情况的发生。如果您对这个问题感兴趣，可以使用 COMSOL Multiphysics 来模拟高阶模式间的耦合，具体方法可参照定向耦合器教学模型（尽管此模型不在本篇博客的讨论范围之内）。
在“RF模块”与“波动光学模块”中进行模式分析
“RF模块”或“波动光学模块”十分适合对高阶模式下的仿真进行“模式分析”研究，这是因为它的控制方程 \mathbf{E}\left(x,y,z\right) = \mathbf{\tilde{E}}\left(x,y\right)e^{-\gamma z} 正是我们感兴趣的形式。因此，“模式分析”会直接求解预定义模式数的空间场和复传播常数。除了需电芯进行模拟及利用金属导体的“阻抗”边界条件之外，前文的几何模型在这里完全适用。
根据“模式分析”得出的衰减常数和有效模式折射率的结果。左图中“衰减常数 Vs. 频率”解析曲线与用于对比“AC/DC 模块”仿真结果的高频曲线使用了相同的计算方程。左图中“有效折射率 vs 频率”的解析曲线的关系是简单的 n = \sqrt{\epsilon_r\mu_r} 方程。为了清晰起见，我们特地调大了两张图中 “COMSOL — TEM” 曲线的尺寸。
我们可以清晰看到 TEM 的“模式分析”结果符合解析理论，以及计算的高阶模式开始于之前确定的截止频率。这个仿真模型可以直接输出复传播常数，而无需计算 R、L、C 和 G，这给我们带来极大的便利。这是因为 \gamma 明确地包含在“模式分析”控制方程中并进行求解。如果您需要的话，可以计算 TEM 模式的其他参数，想要了解更多信息，请查阅“案例下载”中这个示例。值得指出的是，“模式分析”技术同样适用于介质波导，例如光纤。
关于电缆建模的结束语
到这里，我们已经完整分析了同轴电缆，并由计算了从直流电到高频极限的分布参数，同时还研究了第一高阶模式。重要的是，“模式分析”结果仅仅取决于电缆的几何结构和材料属性。“AC/DC 模块”的结果则需要掌握如何激发电缆的额外知识，不过希望您知道自己把电缆接到了什么东西上！我们只使用了解析理论来将自己的仿真结果与著名的基准模型作比较，这说明了此项分析也可以应用于其他电缆，并且可以耦合到包含温度变化和结构变形的多物理场仿真中。
如果您对具体细节感兴趣，下面的几个问题将对您有所帮助。
- “为什么没有提到和/或绘制全部特性阻抗和 TE11 模式的分布参数？”
- 这是因为仅 TEM 模式具有唯一确定的电压、电流和特性阻抗。我们仍然能够将其中的部分值指派给高阶模式，这部分内容在有关传输线理论和微波工程的文章中进行了更深入的讨论。
- “当使用‘模式分析’研究求解模式时，它们会根据各自的有效折射率值确定名称。TEM 和 TE11 的出处什么？”
- 这些名称出自解析理论，使用这些名词是为了方便地讨论结果。指派名称或许无法适用于任意的一个几何结构，不过名称有什么实际意义吗？难道模式换成其他名称就不会带有电磁能（当然排除非隧道式消散波的情况）了吗？
- “为什么你的多个计算中存在着 ½ 这一多余因子？”
- 这种情况出现在求解频域中的电磁场时，尤其是使两个复量相乘的情况。在对时间取平均值时，存在 ½ 的多余因子对照时间域（或直流电）中的方程。想要了解更多信息，请参阅涉及经典电磁学的文章。
参考文献
本篇博客在撰写过程中引用了下列文章中的资料：
- Microwave Engineering, by David M. Pozar
- Foundations for Microwave Engineering, by Robert E. Collin
- Inductance Calculations, by Frederick W. Grover
- Classical Electrodynamics, by John D. Jackson
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