在上一篇博客中，我们讨论了时间和空间的积分方法，了解了如何使用积分耦合算子计算反导数。今天，我们将进一步扩展这个想法，介绍如何分析变化极限的空间积分，无论它们是显式指定还是隐式定义。这个技术对分析结果以及在 COMSOL Multiphysics® 软件中求解积分和微分方程都有帮助。
积分的变化极限
在 COMSOL Multiphysics 中，我们可以通过使用积分组件耦合算子或结果 部分派生值 下的积分工具来计算空间积分。虽然这些积分总是在一个固定的区域内进行计算，但有时我们会想改变积分的极限，并获得与新极限有关的结果。
例如，在一个一维问题中，积分算子通常会作如下计算：
其中，a 和 b 是域中的两个端点，代表积分上下限。
不过，我们要做的是，计算出：
并得到关于积分 s 的可变极限的结果。
由于积分算子在一个固定的域内工作，我们来考虑如何使用它们来获得变化极限的积分。一个小窍门就是通过与一个在积分极限内等于1、在极限外等于0的函数相乘来改变积分值。也就是说，定义一个核函数
\begin{cases}
1 \quad x \leq s\\
0 \quad \mathrm{otherwise},
\end{cases}
并计算
就像我们在上一篇关于时间和空间的积分方法的博客中所指出的，我们可以通过使用逻辑表达式或阶跃函数来建立这个核函数。
我们还需要知道在 COMSOL Multiphysics 中是如何指定辅助变量 s 的。这就是 dest 算子发挥作用的地方。dest 算子强制其参数在目的点上而不是在源点上被计算。在这个例子中，如果我们在 COMSOL 软件中把上述方程的左边定义为一个变量，那么我们就在右边输入 dest(x) 而不是 s。
我们用一个例子来证明这一点。例如，一个模拟了一个平行板反应器中的稳态放热反应的模型。在中心附近有一个加热筒，左边有一个入口，在 x = 0 处。其中一个化合物的浓度为 cA。
我们要做的是计算进气口和与进气口距离为 s 的横截面之间每单位厚度的总摩尔数。然后，将结果与进气口的距离作对比。
首先，我们为整个域定义一个积分耦合算子，保留默认的积分算子名称为 intop1。如果我们评估 intop1(cA)，就可以得到整个域的积分。为了水平地改变积分的极限，我们用一个阶跃函数建立一个核，我们把它称作step1。然后，我们定义一个新的变量，intUpTox。
结合积分耦合算子、dest 算子和新变量来计算具有变化极限的积分。
我们来看看上图中描述的变量是如何工作的。作为一个变量，它是一个分布式的量，其值等于积分算子返回的值。在积分过程中，我们在积分域的每一个点上计算 x，只在计算 intUpTox 的点上计算 dest(x)。我们找到一条水平线，从入口处一直延伸到出口处，并绘制 intUpTox。
将浓度 cA 在一个积分域沿水平变化的极限上进行积分。
如果我们改成绘制 intUpTox/intop1(cA)*100，就会得到一个给定点左边的百分数质量与 x 坐标的关系图。
在上述积分中，积分的极限是以x坐标为单位明确给出的。但有时，极限可能只以隐式标准给出，而反转这种标准并获得显式极限可能并不直接。例如，假设我们想知道在离加热缸中心一定径向距离内的总摩尔的百分比。给定从缸中心(xpos, ypos)的距离 s，我们希望核函数在径向距离内等于1，在其外等于 0。要做到这一点，我们可以使用：
但我们如何指定 s 呢？ 再次使用 dest 算子 s^2 = (\mathrm{dest}(x)-x_{pos})^2+(\mathrm{dest}(y)-y_{pos})^2，带入等式得到：
通过定义一个截线 数据集来实现这个方法，用于获得通过孔中心的水平线，并将我们的积分表达式的图形置于其上。截线 不一定是水平的，它只需要穿越积分算子定义的整个域。此外，s 应该在截线上单调地变化。
用穿过孔中心的截线制作的新数据集。
在下面的图片中，我们通过放大图表的左下角区域添加了一个函数这一部分显示，在距离加热孔中心不到 2 mm 的地方，绘图上没有结果。这是因为该区域不在我们的计算域内。由于孔的半径为 2 mm ，所以在 2 mm 的标点上，序数从 0 开始。
一个域中的质量百分比，在固定点的径向距离内。径向距离是通过使用隐式表达式中的dest算子来改变的。
积分和积分微分方程
在前面的小节中，我们在给出积分的情况下对积分进行了计算。但是，如果我们有了积分并想求解积分，该怎么处理？这种问题的一个例子是 Fredholm 第一类方程
当给定函数 g 和核 K 时，我们要求解函数 u。这些类型的积分方程经常出现在反问题中。
在整数微分方程中，未知函数的积分和导数都会涉及。例如，假设我们有
并且对于给定的所有其他函数，想要求解 u。
在 COMSOL 案例库中，有以下整数偏微分方程：
其中，求解温度 T(x)，并给出所有其他函数和参数。
我们可以使用固体传热 接口来解决上述问题。在这个接口中，将上述方程的右侧添加为随温度变化的热源。第一个源项是可直接求解的，但我们需要使用积分耦合算子和 dest 算子在第二项中添加积分。对于名为 intop1 的积分算子，我们可以使用 intop1(k(dest(x),x)*T^4) 计算
关于这个问题的实现和物理背景的更多细节，您可以点击这里下载整数-偏微分方程教程模型。请注意，一些积分方程往往是奇异的，我们需要使用正则化来获得解。
不同极限的空间积分总结
在今天的博客中，我们学会了如何在不同的空间极限上进行积分。这对于在后处理中计算积分或定义积分和微分方程是必要的。想要了解更多信息，请浏览以下 COMSOL 博客的相关内容。
关于积分和其算符的子完整列表，请参考 COMSOL 参考手册。
如果您对文中讨论的技术或对您的 COMSOL Multiphysics 模型有疑问，请随时与我们联系。
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